Подготовка к ЕГЭ по всем предметам
Задание 8. Найдите расстояние между вершинами А и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=5, AD=4, AA1=3. Решение задачи Рассмотрим прямоугольник AA1D1D, в котором AD1 является диагональю, A1D1=AD. По теореме Пифагора найдём расстояние между вершинами А и D1: \( AD_1=\sqrt{AA_1^2+A_1D_1^2} \) \( AD_1=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 \). Ответ к задаче Ответ: 5.
Задание 1. Для борща на 10 порций следует взять 2,5 фунта свёклы. Сколько граммов свёклы следует взять для борща, рассчитанного на 7 порций? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг. Решение задачи Переведём фунты в килограммы: 2,5*0,4=1 кг. Для 10 порций борща следует взять 1 килограмм свёклы, значит на 1 порцию необходимо 100 граммов. Следовательно, …
Задание 1. Решите дифференциальное уравнение y’ctgx=ctgy. Решение задачи Разделим обе части на ctgx: \( y’=\frac{ctgy}{ctgx} \) Преобразуем \( y'(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \) \( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ctgy}{ctgx} \) Домножим на дифференциал dx: \( \mathrm{d}y=\frac{ctgy\mathrm{d}x}{ctgx} \) Разделим обе части на ctgy: \( \frac{\mathrm{d}y}{ctgy}=\frac{\mathrm{d}x}{ctgx} \) При делении теряется решение \( y=\frac{\pi}{2} \) Проинтегрируем обе части уравнения: \( \int\frac{1}{ctgy}\mathrm{d}y=\int\frac{1}{ctgx}\mathrm{d}x \) Вычислим интегралы: \( …
Задание 368. Найти производную y=x5-4×3+2x-3. Решение задачи Найдём производную: \( y’=(x^5-4x^3+2x-3)’=(x^5)’+(-4x^3)’+(2x)’+(-3)’ \) \( y’=5x^4-4*3x^2+2=5x^4-12x^2+2 \) Ответ к задаче Ответ: 5×4-12×2+2.
Задание 370. Найти производную y=ax2+bx+c. Решение задачи Найдём производную: \( y’=(ax^2+bx+c)’=2ax+b \) Ответ к задаче Ответ: 2ax+b.
Задание 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (3×2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0. Решение задачи Уравнение в полных дифференциалах \( M(x,y)\mathrm{d}y+N(x,y)\mathrm{d}x=0 \) Где \( M(x,y)=4y^3+6x^2y \) и \( N(x,y)=6xy^2+3x^2 \) Проверка на полный дифференциал: \( M(x,y)_x’=N(x,y)_y’=12xy \) Найдём F(x,y): \( \mathrm{d}F(x,y)=F_y’\mathrm{d}y+F_x’\mathrm{d}x \) \( F(x,y)=\int{N(x,y)\mathrm{d}x}=\int{6xy^2+3x^2\mathrm{d}x}=x^3+3x^2y^2+C_y \) \( (x^3+3x^2y^2)_y’=6x^2y \) \( C_y=\int{M(x,y)-(x^3+3x^2y^2)_y’}\mathrm{d}y=\int{4y^3\mathrm{d}y}=y^4 \) Получим решение: \( F(x,y)=x^3+3x^2y^2+C_y=y^4+x^3+3x^2y^2 \) \( y^4+x^3+3x^2y^2=C \), где …
Задание 735. Найти dy в точке (1;2), если y3-y=6×2. Решение задачи Вычислим дифференциал функции: \( \mathrm{d}y=y’\mathrm{d}x \) Найдём производную неявно заданной функции: \( (y^3-y)=(6x^2)’ \) \( 3y^2y’-y’=12x \) \( y'(3y^2-1)=12x \) \( y’=\frac{12x}{3y^2-1} \) При x=1, y=2: \( y’=\frac{12*1}{3*4-1} =\frac{12}{11} \) Получим: \( \mathrm{d}y=\frac{12}{11}\mathrm{d}x \) Ответ к задаче Ответ: dy=(12/11)dx.
Задание 1. В упаковке 10 шариковых ручек. За неделю в офисе расходуется 13 шариковых ручек. Какое наименьшее количество упаковок шариковых ручек нужно купить в офис на 6 недель? Решение задачи Найдём сколько шариковых ручек будет израсходовано за 6 недель: 13*6=78 ручек. Теперь необходимо найти наименьшее целое число, при умножении которого на 10 результат будет не …
Задание 343. Почему для функции y=2x+3 можно определить приращение Δy, зная только, что соответствующее приращение Δx=5, а для функции y=x2 этого сделать нельзя? Решение задачи Вычислим для первой функции: \( Δy=y(x+Δx)-y(x)=2(x+Δx)+3-2x-3 \) Раскроем скобки: \( Δy=2x+2Δx+3-2x-3=2Δx \) Подставим числовые значения: \( Δy=2*5=10. \) Функция линейна, то есть на каждую единицу приращения по x получаем 2 …
Задание 1. Доллар стоит 80 рублей. Какое наибольшее количество долларов можно купить на 1500 рублей? Решение задачи Согласно условию задачи необходимо найти наибольшее целое число, при умножении которого на 80 результат останется не больше 1500. Для этого разделим 1500 на 80 и результат округлим в меньшую сторону: 1500/80=18 долларов. Ответ к задаче Ответ: 18 долларов.