Рубрика «Математика»

Найдите точку максимума функции \[ y=x\sqrt{x}-27x+6\] на отрезке [1;422].

Решение задачи \[ y=x^{\frac{3}{2}}-27x+6 \] \( y^′=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-27=\frac{3}{2}\sqrt{x}-27\\\frac{3}{2}\sqrt{x}-27=0\\\sqrt{x}=\frac{27*2}{3}=18\\x=324 \) \[ y(1)=1\sqrt{1}-27*1+6=1-27+6=-20\\y(324)=324*18-27*324+6=324*(18-27)+6=-2910\\y(422)= \ не \ досчитать \sqrt{422} \] Ответ: -2910

Найдите точку максимума функции \[ y=1,5x^2-27x+54\ln x-7\].

Решение задачи \( y^′=3x-27+\frac{54}{x}=\frac{3x^2-27x+54}{x} \) \[ 3x^2-27x+54=0\\x^2-9x+18=0\\x1=6,x2=3 \] Ответ: 3

Найдите наименьшее значение функции \[ y=2x^2-5x+\ln x-3\] на отрезке \[ \left[ \frac{1}{6};\frac{7}{6}\right] \]

Решение задачи \( y^′=4x-5+\frac{1}{x}=\frac{4x^2-5x+1}{x}\\4x^2-5x+1=0\\x1=\frac{1}{4},x2=1 \) \[ Т.к\ y(\frac{1}{6}),y(\frac{1}{4}),y(\frac{7}{6}) не \ досчитать(\ln \frac{1}{6})(\ln \frac{1}{4})(\ln \frac{7}{6})\ ,\ а\ln 1\ стремится \ к\ нулю\\y(1)=2-5+\ln 1-3=-6 \] Ответ: -6

Найдите точку минимума функции \[ y=(1-2x)\cos x+2\sin x+10\] принадлежащую промежутку \[ \left( 0;\frac{\pi}{2}\right) \]

Решение задачи \( y^′=(1-2x)^′\cos x+(1-2x)(\cos x)^′+2\cos x=\\=-2\cos x-(1-2x)\sin x+2\cos x=(2x-1)\sin x \) \[ 2x-1=0,\ x=0,5\\\sin x=0, x=\pi k, k\in Z \notin \left( 0;\frac{\pi}{2}\right) \] Ответ: 0,5

Найдите наибольшее значение функции \[ y=3\cos x +8x-5\] на отрезке \[ \left[ {\frac{-3\pi}{2};0}\right] \]

Решение задачи \( y^′=-3\sin x+8\\-3\sin x+8=0\\\sin x=\frac{8}{3}\ нет\ корней \) \[ y(\frac{-3\pi}{2})=0+8(\frac{-3\pi}{2})-5\\y(0)=3+0-5=-2 \] Ответ: -2

Найдите точку максимума функции \[ y=-\frac{4}{3}x\sqrt{x}+7x+15\]

Решение задачи \[ y=-\frac{4}{3}x\sqrt{x}+7x+15=-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+7x+15 \] \( y^′=-\frac{4}{3}\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+7=-2\sqrt{x}+7\\-2\sqrt{x}+7=0\\2\sqrt{x}=7\\\sqrt{x}=\frac{7}{2}\\x=\frac{49}{4}=12,25 \) \[ y(1)=1-9+23=15\\y(36)=36*6-9*36+23=-85 \] Ответ: 12,25