Рубрика «Базовая»

Найти a/b, если (2a+5b)/(5a+2b)=1

Решение: \( 2a+5b=5a+2b \) \[ 3a=3b \] \[ a=b \] \[ \frac{a}{b} = 1 \] Ответ: 1

На координатной плоскости изображены векторы \[ \vec{a}\ и\ \vec{b} \] Найдите скалярное произведение \[ \vec{a}\cdot\vec{b} \]

Дано:\[ \vec{a}=(-1;5), \vec{b}=(4;2) \] Найти:\[ \vec{a}\cdot\vec{b} \] Решение:\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=x_a\cdot x_b+y_a\cdot y_b=-1\cdot 4+5\cdot 2=-4+10=6 \] Ответ: 6

Стороны AB, BC, CD и AD четырехугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 50°, 23°, 25°,262°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах

Дано: Дуга AB = 50°, дуга BC = 23°, дуга CD = 25°, дуга DA = 262° Найти: Угол ∠ABC∠ABC. Решение: Расчет угла ∠ABC: Угол ∠ABC — это вписанный угол, опирающийся на дугу ADC. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается: \[ ∠ABC=\frac{1}{2}⌒ ADC=\frac{1}{2}(262°+25°)=143,5° \] Ответ: 143,5°.

Найдите наименьшее значение функции \[ y=6x-6\sin x+17\] на отрезке \[ \left( 0;\frac{\pi}{2}\right) \]

Решение задачи \( y^′=6-\cos x=0\\\cos x=1\\x=0 \ из\left( 0;\frac{\pi}{2}\right) \) \[ y(0)=0-6\sin 0 +17=17\\y(\frac{\pi}{2})=\frac{6\pi}{2}-6\sin {\frac{\pi}{2}}+17=3\pi-6+17\ не \ досчитать \] Ответ: 17

Найдите точку максимума функции \[ y=(2x-1)\cos x-2\sin x+9\] принадлежащую промежутку \[ \left( 0;\frac{\pi}{2}\right) \]

Решение задачи \( y^′=2\cos x-(2x-1)\sin x-2\cos x=(1-2x)\sin x=0 \) \[ -(2x-1)\sin x=(1-2x)\sin x=0\\(1-2x)\sin x=0\\1-2x=0\Rightarrow2x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}=0,5\\\sin x=0\Rightarrow x=\pi k\Rightarrow k\in Z \notin \left( 0;\frac{\pi}{2}\right) \] Ответ: 0,5

Найдите точку максимума функции \[ y=x^3+5,5x^2-42x+18\]

Решение задачи \( y^′=3x^2+11x-42=0 \) \[ Воспользуемся\ формулой\ дискриминанта:D=b^2-4ac\\D=11^2-4*3*(-42)=121+504=625\\Найдем\ корни:x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\x=\frac{-11\pm\sqrt{625}}{2*3}=\frac{-11\pm25}{6} \] \[ x1=\frac{-11+25}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}\\x2=\frac{-11-25}{6}=\frac{-36}{6}=-6 \] Ответ: -6

Найдите наименьшее значение функции \[ y=x^3+18x^2+81x+56\] на отрезке [-7;0].

Решение задачи \( y^′=3x^2+36x+81=0\\x^2+12x+27=0 \) \[ Воспользуемся\ формулой\ дискриминанта:D=b^2-4ac\\D=12^2-4*1*27=144-108=36\\Найдем\ корни:x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\x=\frac{-12\pm\sqrt{36}}{2*1}=\frac{-12\pm6}{2} \] \[ x1=-9 \notin[-7,0]\\x2=-3 \] \[ y(-7)=(-7)^3+18*49+81*(-7)+56=28\\y(-3)=-27+18*9+81*(-3)+56=-52\\y(0)=56 \] Ответ: -52