Рубрика «Дифференциалы»

Задание 1. Решите дифференциальное уравнение y’ctgx=ctgy. Решение задачи Разделим обе части на ctgx: ​\( y’=\frac{ctgy}{ctgx} \) Преобразуем ​\( y'(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \) ​\( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ctgy}{ctgx} \) Домножим на дифференциал dx: ​\( \mathrm{d}y=\frac{ctgy\mathrm{d}x}{ctgx} \) Разделим обе части на ctgy: ​\( \frac{\mathrm{d}y}{ctgy}=\frac{\mathrm{d}x}{ctgx} \)​ При делении теряется решение \( y=\frac{\pi}{2} \)​ Проинтегрируем обе части уравнения: ​\( \int\frac{1}{ctgy}\mathrm{d}y=\int\frac{1}{ctgx}\mathrm{d}x \)​ Вычислим интегралы: ​\( …

Читать далее

Задание 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (3×2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0. Решение задачи Уравнение в полных дифференциалах ​\( M(x,y)\mathrm{d}y+N(x,y)\mathrm{d}x=0 \)​ Где ​\( M(x,y)=4y^3+6x^2y \)​ и ​\( N(x,y)=6xy^2+3x^2 \)​ Проверка на полный дифференциал: ​\( M(x,y)_x’=N(x,y)_y’=12xy \)​ Найдём F(x,y): ​\( \mathrm{d}F(x,y)=F_y’\mathrm{d}y+F_x’\mathrm{d}x \)​ ​\( F(x,y)=\int{N(x,y)\mathrm{d}x}=\int{6xy^2+3x^2\mathrm{d}x}=x^3+3x^2y^2+C_y \)​ ​\( (x^3+3x^2y^2)_y’=6x^2y \)​ ​\( C_y=\int{M(x,y)-(x^3+3x^2y^2)_y’}\mathrm{d}y=\int{4y^3\mathrm{d}y}=y^4 \)​ Получим решение: ​\( F(x,y)=x^3+3x^2y^2+C_y=y^4+x^3+3x^2y^2 \)​ ​\( y^4+x^3+3x^2y^2=C \)​, где …

Читать далее

Задание 735. Найти dy в точке (1;2), если y3-y=6×2. Решение задачи Вычислим дифференциал функции: ​\( \mathrm{d}y=y’\mathrm{d}x \) Найдём производную неявно заданной функции: ​\( (y^3-y)=(6x^2)’ \) ​\( 3y^2y’-y’=12x \) ​\( y'(3y^2-1)=12x \) ​\( y’=\frac{12x}{3y^2-1} \) При x=1, y=2: ​\( y’=\frac{12*1}{3*4-1} =\frac{12}{11} \) Получим: ​\( \mathrm{d}y=\frac{12}{11}\mathrm{d}x \)​ Ответ к задаче Ответ: dy=(12/11)dx.

Читать далее