Подготовка к ЕГЭ по всем предметам
Задание 721. Вычислить дифференциал функции y=tg(x) при x=π/3, Δx=π/180. Решение задачи Вычислим дифференциал функции: \( \mathrm{d}y=y’\mathrm{d}x \) \( y’=(tg(x))’=\frac{1}{cos^2(x)} \) \( \mathrm{d}y=\frac{1}{cos^2(\frac{\pi}{3})}*\frac{\pi}{180} \) \( \mathrm{d}y=\frac{1}{\frac{1}{4}}*\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{45}≈0,0698. \) Ответ к задаче Ответ: 0,0698.
Задание 1. Решите дифференциальное уравнение y’ctgx=ctgy. Решение задачи Разделим обе части на ctgx: \( y’=\frac{ctgy}{ctgx} \) Преобразуем \( y'(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \) \( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ctgy}{ctgx} \) Домножим на дифференциал dx: \( \mathrm{d}y=\frac{ctgy\mathrm{d}x}{ctgx} \) Разделим обе части на ctgy: \( \frac{\mathrm{d}y}{ctgy}=\frac{\mathrm{d}x}{ctgx} \) При делении теряется решение \( y=\frac{\pi}{2} \) Проинтегрируем обе части уравнения: \( \int\frac{1}{ctgy}\mathrm{d}y=\int\frac{1}{ctgx}\mathrm{d}x \) Вычислим интегралы: \( …
Задание 368. Найти производную y=x5-4×3+2x-3. Решение задачи Найдём производную: \( y’=(x^5-4x^3+2x-3)’=(x^5)’+(-4x^3)’+(2x)’+(-3)’ \) \( y’=5x^4-4*3x^2+2=5x^4-12x^2+2 \) Ответ к задаче Ответ: 5×4-12×2+2.
Задание 370. Найти производную y=ax2+bx+c. Решение задачи Найдём производную: \( y’=(ax^2+bx+c)’=2ax+b \) Ответ к задаче Ответ: 2ax+b.
Задание 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (3×2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0. Решение задачи Уравнение в полных дифференциалах \( M(x,y)\mathrm{d}y+N(x,y)\mathrm{d}x=0 \) Где \( M(x,y)=4y^3+6x^2y \) и \( N(x,y)=6xy^2+3x^2 \) Проверка на полный дифференциал: \( M(x,y)_x’=N(x,y)_y’=12xy \) Найдём F(x,y): \( \mathrm{d}F(x,y)=F_y’\mathrm{d}y+F_x’\mathrm{d}x \) \( F(x,y)=\int{N(x,y)\mathrm{d}x}=\int{6xy^2+3x^2\mathrm{d}x}=x^3+3x^2y^2+C_y \) \( (x^3+3x^2y^2)_y’=6x^2y \) \( C_y=\int{M(x,y)-(x^3+3x^2y^2)_y’}\mathrm{d}y=\int{4y^3\mathrm{d}y}=y^4 \) Получим решение: \( F(x,y)=x^3+3x^2y^2+C_y=y^4+x^3+3x^2y^2 \) \( y^4+x^3+3x^2y^2=C \), где …
Задание 735. Найти dy в точке (1;2), если y3-y=6×2. Решение задачи Вычислим дифференциал функции: \( \mathrm{d}y=y’\mathrm{d}x \) Найдём производную неявно заданной функции: \( (y^3-y)=(6x^2)’ \) \( 3y^2y’-y’=12x \) \( y'(3y^2-1)=12x \) \( y’=\frac{12x}{3y^2-1} \) При x=1, y=2: \( y’=\frac{12*1}{3*4-1} =\frac{12}{11} \) Получим: \( \mathrm{d}y=\frac{12}{11}\mathrm{d}x \) Ответ к задаче Ответ: dy=(12/11)dx.
Задание 343. Почему для функции y=2x+3 можно определить приращение Δy, зная только, что соответствующее приращение Δx=5, а для функции y=x2 этого сделать нельзя? Решение задачи Вычислим для первой функции: \( Δy=y(x+Δx)-y(x)=2(x+Δx)+3-2x-3 \) Раскроем скобки: \( Δy=2x+2Δx+3-2x-3=2Δx \) Подставим числовые значения: \( Δy=2*5=10. \) Функция линейна, то есть на каждую единицу приращения по x получаем 2 …