Задание 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0.
Решение задачи
Уравнение в полных дифференциалах \( M(x,y)\mathrm{d}y+N(x,y)\mathrm{d}x=0 \)
Где \( M(x,y)=4y^3+6x^2y \) и \( N(x,y)=6xy^2+3x^2 \)
Проверка на полный дифференциал:
\( M(x,y)_x’=N(x,y)_y’=12xy \)
Найдём F(x,y):
\( \mathrm{d}F(x,y)=F_y’\mathrm{d}y+F_x’\mathrm{d}x \)
\( F(x,y)=\int{N(x,y)\mathrm{d}x}=\int{6xy^2+3x^2\mathrm{d}x}=x^3+3x^2y^2+C_y \)
\( (x^3+3x^2y^2)_y’=6x^2y \)
\( C_y=\int{M(x,y)-(x^3+3x^2y^2)_y’}\mathrm{d}y=\int{4y^3\mathrm{d}y}=y^4 \)
Получим решение:
\( F(x,y)=x^3+3x^2y^2+C_y=y^4+x^3+3x^2y^2 \)
\( y^4+x^3+3x^2y^2=C \), где C — константа
Ответ к задаче
Ответ: y4+3x2y2=C-x3.