Найти a/b, если (2a+5b)/(5a+2b)=1
Решение: \( 2a+5b=5a+2b \) \[ 3a=3b \] \[ a=b \] \[ \frac{a}{b} = 1 \] Ответ: 1
Рубрика «Алгебра и начала мат. анализа»
Найдите наименьшее значение функции \[ y=6x-6\sin x+17\] на отрезке \[ \left( 0;\frac{\pi}{2}\right) \]
Решение задачи \( y^′=6-\cos x=0\\\cos x=1\\x=0 \ из\left( 0;\frac{\pi}{2}\right) \) \[ y(0)=0-6\sin 0 +17=17\\y(\frac{\pi}{2})=\frac{6\pi}{2}-6\sin {\frac{\pi}{2}}+17=3\pi-6+17\ не \ досчитать \] Ответ: 17
Найдите точку максимума функции \[ y=(2x-1)\cos x-2\sin x+9\] принадлежащую промежутку \[ \left( 0;\frac{\pi}{2}\right) \]
Решение задачи \( y^′=2\cos x-(2x-1)\sin x-2\cos x=(1-2x)\sin x=0 \) \[ -(2x-1)\sin x=(1-2x)\sin x=0\\(1-2x)\sin x=0\\1-2x=0\Rightarrow2x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}=0,5\\\sin x=0\Rightarrow x=\pi k\Rightarrow k\in Z \notin \left( 0;\frac{\pi}{2}\right) \] Ответ: 0,5
Найдите точку максимума функции \[ y=x^3+5,5x^2-42x+18\]
Решение задачи \( y^′=3x^2+11x-42=0 \) \[ Воспользуемся\ формулой\ дискриминанта:D=b^2-4ac\\D=11^2-4*3*(-42)=121+504=625\\Найдем\ корни:x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\x=\frac{-11\pm\sqrt{625}}{2*3}=\frac{-11\pm25}{6} \] \[ x1=\frac{-11+25}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}\\x2=\frac{-11-25}{6}=\frac{-36}{6}=-6 \] Ответ: -6
Найдите наименьшее значение функции \[ y=x^3+18x^2+81x+56\] на отрезке [-7;0].
Решение задачи \( y^′=3x^2+36x+81=0\\x^2+12x+27=0 \) \[ Воспользуемся\ формулой\ дискриминанта:D=b^2-4ac\\D=12^2-4*1*27=144-108=36\\Найдем\ корни:x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\x=\frac{-12\pm\sqrt{36}}{2*1}=\frac{-12\pm6}{2} \] \[ x1=-9 \notin[-7,0]\\x2=-3 \] \[ y(-7)=(-7)^3+18*49+81*(-7)+56=28\\y(-3)=-27+18*9+81*(-3)+56=-52\\y(0)=56 \] Ответ: -52
Найдите точку минимума функции \[ y=10x-\ln (x+11)+3\]
Решение задачи \( y^′=10-\frac{1}{x+11}=0\\10(x+11)-1=0\\10x+109=0\\10x=-109\\x=-10,9 \) Ответ: -10,9
Найдите наибольшее значение функции \[ y=\ln (x+18)^{12}-12x\] на отрезке [-17,5;0].
Решение задачи \( y^′=\frac{12}{x+18}-12=0\\\frac{12}{x + 18} = 12\\\frac{1}{x + 18} = 1\\1 = x + 18\\x = -17 \) \[ y(-17,5)=\ не\ досчитать\\y(-17)=\ln 1-12*(-17)=204\\y(0)=\ не\ досчитать \] Ответ: 204
Найдите точку максимума функции \[ y=15+21x-4x\sqrt{x}\]
Решение задачи \[ y=15+21x-4x^{\frac{3}{2}} \] \( y^′=21-4\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=21-6\sqrt{x}\\21-6\sqrt{x}=0\\6\sqrt{x}=21\\\sqrt{x}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}=3,5\\x=12,25 \) Ответ: 12,25
Найдите точку максимума функции \[ y=x\sqrt{x}-27x+6\] на отрезке [1;422].
Решение задачи \[ y=x^{\frac{3}{2}}-27x+6 \] \( y^′=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-27=\frac{3}{2}\sqrt{x}-27\\\frac{3}{2}\sqrt{x}-27=0\\\sqrt{x}=\frac{27*2}{3}=18\\x=324 \) \[ y(1)=1\sqrt{1}-27*1+6=1-27+6=-20\\y(324)=324*18-27*324+6=324*(18-27)+6=-2910\\y(422)= \ не \ досчитать \sqrt{422} \] Ответ: -2910
Найдите точку максимума функции \[ y=1,5x^2-27x+54\ln x-7\].
Решение задачи \( y^′=3x-27+\frac{54}{x}=\frac{3x^2-27x+54}{x} \) \[ 3x^2-27x+54=0\\x^2-9x+18=0\\x1=6,x2=3 \] Ответ: 3